Tutti gli studenti di scuola media inferiore imparano che i numeri decimali periodici sono sempre numeri razionali. In particolare, imparano la seguente procedura per trasformarlo in frazione: al numeratore si pone la differenza tra il numero scritto come intero, periodo compreso ed il numero scritto come intero, eventuale antiperiodo incluso, periodo escluso; al denominatore poniamo tanti ‘9’ quanti sono le cifre che compongono la parte periodica e aggiungiamo tanti ‘0’ quante sono le eventuali cifre che compongono l’antiperiodo. Tuttavia, perché questa regola funziona, pochi lo sanno.
Si indichi con x un qualunque numero decimale periodico, ad esempio 7,32444 ... , che si può anche scrivere come
x = 7,32(4) = 7,32 + 0,00(4) .
Se si moltiplica x per 10, in modo che
10 x = 73,2(4) = 73,24(4) = 73,24 + 0,00(4) ,
si ottiene l’equazione di primo grado
10 x = 73,24 + x - 7,32 ,
che si risolve semplicemente
9 x = 73,24 - 7,32 → x = (73,24 - 7,32)/9 = (7324 - 732)/900 .
Come si vede, si è trovato proprio la frazione generatrice del numero x, prevista dalla nota regola.
Dulcis in fundo, a corredo di questa spiegazione, si ricorda che il 9 periodico non esiste, in quanto coincide con l’intero successivo, e non vi è alcuna semplificazione o approssimazione in questo! Così si può ad esempio scrivere
0,(9)=1 , 2,(9)=3 , 11,(9)=12 .
Quod erat demostrandum